Comando copiado al portapapeles
OK
Σaₙxⁿ

Cálculo Integral Unidad 4

Series y Aproximación de Taylor • TecNM

Sim
4.1-4.2 Sucesiones & Series 4.3 Criterios de Convergencia 4.4-4.5 Series de Potencias 4.6-4.8 Taylor & Integrales Laboratorio Interactivo de Aproximación de Taylor & Cuadratura
UNIDAD 4 • SERIES 4 Semanas • 20 Horas (12T / 8P) Ing. Industrial & TIC's

Convergencia Asintótica, Series de Potencias e Integración Numérica de Taylor

Manual analítico, riguroso y computacional. Domina la transición del discreto al continuo infinito mediante sucesiones monótonas y acotadas, sumas parciales finitas e infinitas (geométricas y telescópicas), pruebas de convergencia analítica (D'Alembert, Cauchy, Integral), cálculo del radio e intervalo de convergencia en series de potencias, y aproximación polinomial de Taylor para evaluar integrales no elementales en física y telecomunicaciones.

Competencia TecNM: Analiza la convergencia de sucesiones y series numéricas, determina el radio e intervalo de convergencia de series de potencias y representa funciones mediante series de Taylor para aproximar integrales no elementales con cota de error controlada.
Metodología 3 Niveles: Cada subtema contiene 3 ejercicios demostrativos completos: Básico (fundamentos analíticos), Intermedio (TIC's: latencia acumulada en redes, complejidad criptográfica, funciones Gaussianas de error $\text{erf}$) y Avanzado (Ing. Industrial: amortización, fatiga de materiales y resortes no lineales).
Módulo 1 • Subtemas 4.1 y 4.2

Sucesiones y Series: Finitas e Infinitas (Geométricas y Telescópicas)

Semana 13 • 5 Horas

📌 Fundamentación Teórica: Sucesión vs Serie & Formas Canónicas

Una sucesión $\{a_n\}$ es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos $\mathbb{Z}^+$. Converge a $L$ si $\lim_{n \to \infty} a_n = L$. Una serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es la suma de los infinitos términos de la sucesión, cuya convergencia se define mediante el límite de su sucesión de sumas parciales $S_k = \sum_{n=1}^k a_n$:

Serie Geométrica Infinita
$$\sum_{n=0}^\infty a r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \text{si } |r| < 1 \quad (\text{Diverge si } |r| \ge 1)$$
Serie Telescópica (Cancelación)
$$S_k = \sum_{n=1}^k (b_n - b_{n+1}) = b_1 - b_{k+1} \implies S = b_1 - \lim_{k \to \infty} b_{k+1}$$

✏️ Ejercicios Resueltos de Cátedra (Básico • Intermedio TIC's • Avanzado Industrial)

NIVEL BÁSICO

Serie telescópica con descomposición en fracciones simples

Pizarra / Fundamentos

Determina si la serie infinita converge o diverge, y si converge, calcula su suma exacta: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2 + 2n}$$

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Descomponer en fracciones parciales el término general:

$$\frac{2}{n(n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 2} \implies 2 = A(n + 2) + Bn$$ $$\text{Para } n = 0 \implies 2 = 2A \implies A = 1$$ $$\text{Para } n = -2 \implies 2 = -2B \implies B = -1$$ $$a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}$$

Paso 2: Expandir la $k$-ésima suma parcial $S_k$ para observar cancelaciones intermedias:

$$S_k = \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) + \dots + \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}\right) + \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$$ $$S_k = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}$$

Paso 3: Calcular el límite cuando $k \to \infty$:

$$S = \lim_{k \to \infty} S_k = \lim_{k \to \infty} \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\right) = \frac{3}{2} - 0 - 0 = \frac{3}{2} = 1.5$$ $$\implies \text{La serie CONVERGE a } \frac{3}{2}$$
NIVEL INTERMEDIO • TIC'S

Latencia acumulada y retransmisión exponencial en protocolo CSMA/CD

Redes & Telecomunicaciones

En un conmutador de red, el protocolo de retransmisión con retroceso exponencial (*exponential backoff*) introduce un retraso base de $t_0 = 12\text{ ms}$. Debido a colisiones sucesivas, cada reintento $n$ acumula un retardo adicional de $12 \times (0.75)^n\text{ ms}$. Determina el retardo acumulado teórico máximo si se permitiera un número infinito de reintentos, y calcula el retardo en los primeros 5 intentos.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Modelar la serie infinita de retardos:

$$T_{\text{total}} = \sum_{n=0}^\infty 12(0.75)^n = 12 + 12(0.75) + 12(0.75)^2 + \dots$$ $$\text{Primer término } a = 12\text{ ms}, \quad \text{razón común } r = 0.75 = \frac{3}{4}$$

Paso 2: Comprobar criterio de convergencia geométrica $|r| < 1$:

$$|r| = 0.75 < 1 \implies \text{La serie geométrica converge estrictamente}$$ $$T_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{12}{1 - 0.75} = \frac{12}{0.25} = 48\text{ ms}$$

Paso 3: Suma finita para los primeros 5 intentos ($k = 5$ términos, $n=0$ a $4$):

$$S_5 = \frac{a(1 - r^5)}{1 - r} = \frac{12(1 - 0.75^5)}{0.25} = 48(1 - 0.2373) = 48(0.7627) \approx 36.61\text{ ms}$$ $$\text{El retardo acumulado tras 5 intentos es } \approx 36.61\text{ ms de un techo asintótico de } 48\text{ ms.}$$
NIVEL AVANZADO • ING. INDUSTRIAL

Amortización y costo de ciclo de vida con reposición periódica

Ingeniería Económica & Activos

Una máquina troqueladora CNC tiene un costo inicial de compra de $C_0 = \$250,000\text{ USD}$. Al final de cada ciclo de reemplazo de $T$ años, su valor de reventa disminuye en un factor geométrico $r = e^{-i T}$ donde la tasa de interés continuo del capital es $i = 0.08$ anual. Si el ciclo óptimo de reemplazo es $T = 4$ años y el mantenimiento perpetuo requiere comprar una máquina nueva al final de cada ciclo descontada al valor presente, calcula el Valor Presente Capitalizado Total (VP) de la maquinaria en horizonte infinito.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Calcular el factor de descuento por periodo de 4 años:

$$r = e^{-i T} = e^{-0.08 \times 4} = e^{-0.32} \approx 0.72615$$

Paso 2: Formular la serie infinita del Valor Presente de reposición perpetua:

$$\text{VP} = C_0 + C_0 r + C_0 r^2 + C_0 r^3 + \dots = \sum_{k=0}^\infty C_0 (e^{-0.32})^k$$

Paso 3: Evaluar la suma exacta de la serie geométrica:

$$\text{Como } |r| = 0.72615 < 1: \quad \text{VP} = \frac{C_0}{1 - r} = \frac{250\,000}{1 - 0.72615} = \frac{250\,000}{0.27385} \approx \$912\,897.68\text{ USD}$$ $$\text{El fondo de capitalización requerido para mantener la máquina perpetuamente es de } \$912,898\text{ USD.}$$
📝 Tareas Propuestas (Módulo 1)
  • • Básico: Determina la suma exacta de $\sum_{n=1}^\infty \frac{3}{4^n}$.
  • • Intermedio [TIC's]: Evalúa la convergencia de la serie telescópica $\sum_{n=1}^\infty \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$.
  • • Avanzado [Industrial]: Calcula el costo acumulado de mantenimiento si $M_n = 5000(0.85)^{n-1}$.
💻 GeoGebra

Suma(Secuencia(2/(n^2+2*n), n, 1, 50))

Suma(Secuencia(12*0.75^n, n, 0, 50))

⚠️ Sucesión vs Serie

Error común: Confundir $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ con la convergencia de la serie. Que el término general tienda a $0$ es condición necesaria pero NO suficiente (ejemplo: serie armónica $\sum \frac{1}{n}$ diverge aunque $\frac{1}{n} \to 0$).

Módulo 2 • Subtema 4.3

Series Numéricas y Criterios de Convergencia

Semana 14 • 5 Horas

📌 Los Tres Criterios Canónicos Oficiales del Programa TecNM

1. Criterio de la Razón (D'Alembert)

Calcula $L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

  • • $L < 1 \implies$ Converge absolutamente.
  • • $L > 1 \implies$ Diverge.
  • • $L = 1 \implies$ No concluyente.
Ideal para factoriales y potencias $k^n$.
2. Criterio de la Raíz (Cauchy)

Calcula $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}$:

  • • $L < 1 \implies$ Converge absolutamente.
  • • $L > 1 \implies$ Diverge.
  • • $L = 1 \implies$ No concluyente.
Ideal para potencias enésimas $(b_n)^n$.
3. Criterio de la Integral

Si $f(x)$ es continua, positiva y decreciente para $x \ge 1$ con $f(n) = a_n$:

$$\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ y } \int_1^\infty f(x)dx$$

Ambas convergen o ambas divergen simultáneamente.

✏️ Ejercicios Resueltos de Cátedra (Básico • Intermedio TIC's • Avanzado Industrial)

NIVEL BÁSICO

Criterio de la Razón con factoriales y potencias exponenciales

Pizarra / D'Alembert

Aplica el criterio de la razón de D'Alembert para determinar si la serie converge o diverge: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n!}$$

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Formular $a_{n+1}$ y el cociente $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$$a_n = \frac{5^n}{n!}, \quad a_{n+1} = \frac{5^{n+1}}{(n + 1)!}$$ $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{5^n} = \frac{5^{n} \cdot 5}{(n+1)n!} \cdot \frac{n!}{5^n} = \frac{5}{n + 1}$$

Paso 2: Evaluar el límite $L$ cuando $n \to \infty$:

$$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n + 1} = 0$$ $$\text{Como } L = 0 < 1 \implies \text{La serie CONVERGE ABSOLUTAMENTE por el Criterio de la Razón}$$
NIVEL INTERMEDIO • TIC'S

Criterio de la Raíz de Cauchy en algoritmos criptográficos con potencia $n$

Criptografía & Algoritmos

La probabilidad de colisión de claves hash en una cadena de bloques (*blockchain*) tras $n$ transacciones se modela mediante el término general $a_n = \left(\frac{2n + 1}{5n - 2}\right)^n$. Demuestra mediante el criterio de la raíz si la probabilidad residual acumulada de fallo $\sum a_n$ converge a un valor finito.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Aplicar la raíz enésima $\sqrt[n]{|a_n|}$ para eliminar la potencia exterior:

$$\sqrt[n]{|a_n|} = \left[ \left(\frac{2n + 1}{5n - 2}\right)^n \right]^{1/n} = \frac{2n + 1}{5n - 2}$$

Paso 2: Calcular el límite asintótico $L$:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{5n - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + 1/n}{5 - 2/n} = \frac{2}{5} = 0.4$$

Paso 3: Dictamen de Ingeniería:

$$L = 0.4 < 1 \implies \text{La serie CONVERGE por el Criterio de la Raíz de Cauchy}$$ $$\text{El riesgo acumulado total de colisión de claves está estrictamente acotado y es finito.}$$
NIVEL AVANZADO • ING. INDUSTRIAL

Criterio de la Integral en degradación acumulada por fatiga de materiales

Fatiga & Mantenimiento Predictivo

La acumulación de microfisuras por ciclo de esfuerzo térmico en alabes de turbina industrial sigue la ley de distribución $a_n = \frac{1}{n \ln^2(n)}$ para ciclos $n \ge 2$. Aplica el Criterio de la Integral impropia para demostrar si el daño acumulado total converge o diverge hacia una falla catastrófica inevitable.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Verificar condiciones del criterio para $f(x) = \frac{1}{x \ln^2(x)}$ en $[2, \infty)$:

  • Es positiva ($f(x) > 0$ para $x \ge 2$).
  • Es continua (denominador no se anula en $[2, \infty)$).
  • Es monótona decreciente ($x$ y $\ln(x)$ son crecientes $\implies f(x)$ decrece a $0$).

Paso 2: Evaluar la integral impropia mediante sustitución $u = \ln(x) \implies du = \frac{dx}{x}$:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x \ln^2(x)} = \lim_{b \to \infty} \int_2^b (\ln x)^{-2} \left(\frac{dx}{x}\right) = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{\ln(x)} \right]_2^b$$ $$= \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{\ln(b)} - \left(-\frac{1}{\ln(2)}\right) \right) = 0 + \frac{1}{\ln(2)} = \frac{1}{\ln(2)} \approx 1.4427$$

Paso 3: Dictamen de Ingeniería Industrial:

$$\text{Como la integral impropia CONVERGE a } \frac{1}{\ln 2} \implies \text{La serie } \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln^2(n)} \text{ CONVERGE}$$ $$\text{El daño microestructural acumulado es estable y converge asintóticamente a una cota segura.}$$
📝 Tareas Propuestas (Módulo 2)
  • • Básico: Prueba la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}$ con el criterio de la razón.
  • • Intermedio [TIC's]: Usa el criterio de la raíz para $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3n + 2}{2n + 1}\right)^n$.
  • • Avanzado [Industrial]: Determina con el criterio de la integral si converge $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2 + 1}$.
💻 GeoGebra

Suma(Secuencia(5^n / n!, n, 1, 25))

Integral(1/(x * ln(x)^2), 2, inf)

⚠️ Caso L = 1

Si en el criterio de la razón o de la raíz obtienes $L = 1$, el criterio no decide nada (falla en todas las $p$-series $\sum \frac{1}{n^p}$). En ese caso debes cambiar inmediatamente al Criterio de la Integral o prueba de comparación.

Módulo 3 • Subtemas 4.4 y 4.5

Series de Potencias y Radio e Intervalo de Convergencia

Semana 15 • 5 Horas

📌 Definición Canónica y Teorema Fundamental de Radio $R$

Una serie de potencias centrada en $c$ es una serie funcional de la forma: $$\sum_{n=0}^\infty c_n (x - c)^n = c_0 + c_1(x - c) + c_2(x - c)^2 + \dots$$ Por el Teorema de Abel, para toda serie de potencias existe un único Radio de Convergencia $R \in [0, \infty]$ tal que:

1. Caso $R = 0$

La serie converge exclusivamente en el centro $x = c$.

2. Caso $0 < R < \infty$

Converge absolutamente si $|x - c| < R$, diverge si $|x - c| > R$.

Los extremos $x = c \pm R$ deben probarse por separado.

3. Caso $R = \infty$

La serie converge absolutamente para todo número real $x \in (-\infty, \infty)$.

✏️ Ejercicios Resueltos de Cátedra (Básico • Intermedio TIC's • Avanzado Industrial)

NIVEL BÁSICO

Radio e intervalo con análisis riguroso en fronteras

Pizarra / Radio $R$

Determina el radio de convergencia $R$ y el intervalo de convergencia exacto $I$ de la serie de potencias: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(x - 3)^n}{n \cdot 2^n}$$

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Aplicar el criterio de la razón a $u_n = \frac{(x - 3)^n}{n \cdot 2^n}$:

$$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x - 3)^{n+1}}{(n + 1)2^{n+1}} \cdot \frac{n 2^n}{(x - 3)^n} \right|$$ $$= |x - 3| \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{|x - 3|}{2}$$

Paso 2: Exigir convergencia estricta $L < 1$:

$$\frac{|x - 3|}{2} < 1 \implies |x - 3| < 2 \implies R = 2$$ $$-2 < x - 3 < 2 \implies 1 < x < 5$$

Paso 3: Evaluar los extremos del intervalo:

$$\text{En } x = 1: \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{(1 - 3)^n}{n 2^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^n}{n 2^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \quad (\text{Serie armónica alternante: CONVERGE por Leibniz})$$ $$\text{En } x = 5: \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{(5 - 3)^n}{n 2^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n 2^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \quad (\text{Serie armónica simple: DIVERGE})$$

Paso 4: Conclusión:

$$\text{Radio: } R = 2, \qquad \text{Intervalo de Convergencia: } I = [1, 5)$$
NIVEL INTERMEDIO • TIC'S

Región de convergencia (ROC) en procesamiento digital de señales

Transformada Z & Filtros Digitales

La respuesta impulsional acumulada de un filtro digital IIR recursivo de segundo orden se modela como una serie de potencias en la variable normalizada $w$: $\sum_{n=0}^\infty (3n + 1) (4w)^n$. Determina el rango de estabilidad paramétrica hallando el radio y el intervalo exacto de convergencia.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Aplicar el criterio de la razón sobre $a_n = (3n + 1) 4^n w^n$:

$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3(n+1) + 1}{3n + 1} \cdot \frac{4^{n+1}}{4^n} \cdot \frac{w^{n+1}}{w^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3n + 4}{3n + 1} \cdot 4w \right| = 4|w|$$

Paso 2: Condición de convergencia estricta:

$$4|w| < 1 \implies |w| < \frac{1}{4} \implies R = \frac{1}{4} = 0.25$$ $$-\frac{1}{4} < w < \frac{1}{4}$$

Paso 3: Prueba de divergencia en los extremos $w = \pm \frac{1}{4}$:

$$\text{Para } w = \frac{1}{4}: \quad \sum_{n=0}^\infty (3n + 1) (1)^n = \sum (3n + 1) \implies \lim_{n \to \infty} (3n+1) = \infty \ne 0 \quad (\text{Diverge})$$ $$\text{Para } w = -\frac{1}{4}: \quad \sum_{n=0}^\infty (3n + 1) (-1)^n \implies \lim_{n \to \infty} a_n \ne 0 \quad (\text{Diverge})$$

Paso 4: Conclusión de Ingeniería de Telecomunicaciones:

$$\text{Radio de estabilidad: } R = 0.25, \qquad \text{Intervalo: } I = \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$$
NIVEL AVANZADO • ING. INDUSTRIAL

Serie de potencias con factorial $n!$ y radio de convergencia infinito ($R = \infty$)

Control de Calidad & Procesos Estocásticos

La función generadora de momentos acumulados en un proceso industrial de empaquetado de alta velocidad para piezas de precisión obedece a la serie $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2x)^n}{(2n)!}$. Determina el dominio de validez para cualquier condición de operación encontrando su radio e intervalo de convergencia.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Formular el cociente de la razón para $u_n = \frac{(-1)^n (2x)^n}{(2n)!}$:

$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^{n+1} x^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{2^n x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2x \cdot (2n)!}{(2n + 2)(2n + 1)(2n)!} \right|$$ $$L = 2|x| \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n + 2)(2n + 1)}$$

Paso 2: Evaluar el límite para cualquier valor fijo de $x \in \mathbb{R}$:

$$L = 2|x| \times 0 = 0 \quad \text{para cualquier } x \in \mathbb{R}$$

Paso 3: Conclusión de Ingeniería:

$$\text{Como } L = 0 < 1 \quad \forall x \in \mathbb{R} \implies \text{Radio: } R = \infty, \qquad \text{Intervalo: } I = (-\infty, \infty)$$ $$\text{El modelo es universalmente convergente y aplicable en todo el rango operativo sin restricciones.}$$
📝 Tareas Propuestas (Módulo 3)
  • • Básico: Halla el radio e intervalo de $\sum_{n=0}^\infty n! x^n$ (Caso $R = 0$).
  • • Intermedio [TIC's]: Determina el intervalo de $\sum_{n=1}^\infty \frac{(x + 2)^n}{n^2 3^n}$.
  • • Avanzado [Industrial]: Encuentra el radio de convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \frac{n(x - 1)^n}{5^n}$.
💻 GeoGebra

f_n(x) = Suma(Secuencia((x-3)^k/(k*2^k), k, 1, n))

n = Deslizador(1, 25, 1)

⚠️ Fronteras del Intervalo

El criterio de la razón nunca decide sobre los puntos frontera $x = c \pm R$ porque allí siempre se obtiene $L = 1$. Es obligatorio sustituir cada extremo directamente en la serie original y utilizar criterios para series numéricas (armónica, alternante o integral).

Módulo 4 • Subtemas 4.6, 4.7 y 4.8

Series de Taylor, Representación de Funciones e Integración Numérica

Semana 16 • 5 Horas

📌 Teorema de Taylor y Resolución de Integrales No Elementales

Si $f$ tiene derivadas de todos los órdenes en un entorno de $a$, su Serie de Taylor generada es: $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dots$$ Cuando el centro es $a = 0$, se denomina Serie de Maclaurin.

Series de Maclaurin Notables ($R = \infty$)

• $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$

• $\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

• $\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

Integración Término a Término

Para funciones cuyas antiderivadas no se pueden expresar mediante funciones elementales (ej. $\int e^{-x^2}dx$, $\int \frac{\sin x}{x}dx$):

$$\int \left[\sum c_n x^n\right] dx = C + \sum \frac{c_n}{n+1} x^{n+1}$$

Permite computar integrales definidas con cualquier tolerancia de error $\varepsilon$.

✏️ Ejercicios Resueltos de Cátedra (Básico • Intermedio TIC's • Avanzado Industrial)

NIVEL BÁSICO

Construcción de Polinomio de Taylor de orden 3 alrededor de $a = 1$

Pizarra / Taylor

Obtén el polinomio de Taylor de tercer orden $P_3(x)$ para $f(x) = \ln(x)$ centrado en $a = 1$, y utilízalo para estimar el valor numérico de $\ln(1.2)$.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Calcular derivadas sucesivas hasta orden 3 y evaluarlas en $a = 1$:

$$f(x) = \ln(x) \implies f(1) = \ln(1) = 0$$ $$f'(x) = x^{-1} \implies f'(1) = 1$$ $$f''(x) = -x^{-2} \implies f''(1) = -1$$ $$f'''(x) = 2x^{-3} \implies f'''(1) = 2$$

Paso 2: Ensamblar el polinomio de Taylor $P_3(x)$:

$$P_3(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x - 1)^3$$ $$P_3(x) = 0 + 1(x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{2}{6}(x - 1)^3 = (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3$$

Paso 3: Evaluar para $x = 1.2 \implies (x - 1) = 0.2$:

$$P_3(1.2) = 0.2 - \frac{(0.2)^2}{2} + \frac{(0.2)^3}{3} = 0.2 - \frac{0.04}{2} + \frac{0.008}{3} = 0.2 - 0.02 + 0.002667 = 0.182667$$ $$\text{Valor exacto: } \ln(1.2) \approx 0.182321 \implies \text{Error absoluto: } \approx 0.000346 \quad (< 0.19\%)$$
NIVEL INTERMEDIO • TIC'S

Aproximación de la función de error Gaussiana $\text{erf}(x)$ en canales con ruido

Teoría de la Información & Redes Neuronales

La probabilidad de error de bit (BER) en un canal de comunicaciones inalámbricas saturado con ruido blanco aditivo Gaussiano (AWGN) requiere evaluar la integral no elemental $\int_0^{0.5} e^{-x^2} dx$. Obtén su aproximación analítica integrando los primeros 4 términos de su serie de Maclaurin y acota el error cometido.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Sustituir $u = -x^2$ en la serie canónica de $e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!}$:

$$e^{-x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + \frac{x^8}{24} - \dots$$

Paso 2: Integrar término a término en el intervalo $[0, 0.5]$:

$$\int_0^{0.5} e^{-x^2} dx = \int_0^{0.5} \left(1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6}\right) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} \right]_0^{0.5}$$

Paso 3: Evaluación numérica exacta:

$$= 0.5 - \frac{(0.5)^3}{3} + \frac{(0.5)^5}{10} - \frac{(0.5)^7}{42} = 0.5 - \frac{0.125}{3} + \frac{0.03125}{10} - \frac{0.0078125}{42}$$ $$= 0.5 - 0.041667 + 0.003125 - 0.000186 \approx 0.461272$$

Cota de error de Leibniz para series alternantes: El error es menor que el primer término omitido: $$\text{Error} \le \int_0^{0.5} \frac{x^8}{24} dx = \left[ \frac{x^9}{216} \right]_0^{0.5} = \frac{(0.5)^9}{216} \approx 9.04 \times 10^{-6} \implies \text{Precisión de 5 cifras decimales garantizada.}$$

NIVEL AVANZADO • ING. INDUSTRIAL

Evaluación de la integral senoidal no elemental $\text{Si}(x)$ en oscilaciones mecánicas

Dinámica de Vibraciones & Amortiguamiento

El desplazamiento acumulado de un amortiguador hidráulico con disipación sincrónica requiere resolver la integral no elemental $\int_0^1 \frac{\sin(x)}{x} dx$. Expresa el integrando como serie de Maclaurin, integra término a término y determina el número mínimo de términos para asegurar un error menor a $10^{-4}$.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Desarrollar la serie de Maclaurin para $\sin(x)$ y dividir entre $x$:

$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ $$\frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!}$$

Paso 2: Integrar término a término entre $0$ y $1$:

$$\int_0^1 \frac{\sin(x)}{x} dx = \left[ x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \frac{x^7}{7 \cdot 7!} + \dots \right]_0^1$$ $$= 1 - \frac{1}{3 \times 6} + \frac{1}{5 \times 120} - \frac{1}{7 \times 5040} + \dots = 1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} - \frac{1}{35\,280} + \dots$$

Paso 3: Análisis de error con el teorema de series alternantes:

$$\text{Término 1: } 1 = 1.000000$$ $$\text{Término 2: } -\frac{1}{18} \approx -0.055556$$ $$\text{Término 3: } \frac{1}{600} \approx +0.001667$$ $$\text{Término 4 (error): } \frac{1}{35\,280} \approx 0.0000283 < 10^{-4}$$

Paso 4: Conclusión y cómputo con solo 3 términos:

$$\int_0^1 \frac{\sin(x)}{x} dx \approx 1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} \approx 1 - 0.055556 + 0.001667 = 0.946111$$ $$\text{Valor analítico exacto } \text{Si}(1) \approx 0.946083 \implies \text{Error: } 0.000028 \quad (< 0.003\%)$$
📝 Tareas Propuestas (Módulo 4)
  • • Básico: Halla el polinomio de Maclaurin de orden 4 para $\cos(2x)$.
  • • Intermedio [TIC's]: Aproxima $\int_0^{0.2} \frac{1}{1 + x^4} dx$ con 2 términos de serie geométrica.
  • • Avanzado [Industrial]: Estima $\int_0^{0.5} \cos(\sqrt{x}) dx$ usando series de Taylor.
💻 GeoGebra

PolinomioTaylor(sin(x), x, 0, 5)

Integral(PolinomioTaylor(exp(-x^2), x, 0, 6), 0, 0.5)

⚠️ Radio de la Integral

Solo puedes integrar término a término si los límites de integración $[a, b]$ se encuentran estrictamente dentro del radio de convergencia de la serie de Taylor utilizada.

Laboratorio: Aproximación Polinomial de Taylor e Integrales

Compara $f(x)$ vs $P_n(x)$, ajusta el orden $n$ y calcula integrales no elementales

HTML5 Canvas • Touch Native
Función f(x) Taylor P_n(x) Aproximación en Orden n=5

Métricas de Aproximación

Taylor vs Exacto
1. Error Puntual $|f(x_0) - P_n(x_0)|$: 0.000198
f(x₀): 0.84147 Pₙ(x₀): 0.84167
2. Integral con Taylor $\int_{x_1}^{x_2} P_n(x) dx$: 0.92926 u
3. Integral Numérica Exacta $\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx$: 0.92926 u Diferencia: 0.000003 u

💡 Demostración de Laboratorio:

Desplaza el control deslizante de grado $n$ de 1 a 11: observa cómo $P_n(x)$ se "pega" geométricamente a $f(x)$, ensanchando la zona de coincidencia asintótica.