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Cálculo Integral TecNM

Guía Maestra de Cátedra & Simulación

UNIDAD 1 • TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 4 Semanas • 20 Horas (12T / 8P) Ing. Industrial & TIC's

Fundamentación, Rigor y Modelado de la Integral Definida

Plataforma interactiva de cátedra universitaria y autoaprendizaje. Articula rigurosamente el paso del discreto al continuo mediante sumatorias, particiones de Riemann y el Teorema Fundamental del Cálculo, con aplicaciones reales en complejidad algorítmica, tráfico de redes en la nube, control estadístico de procesos y curvas de aprendizaje industrial.

Competencia TecNM: Contextualiza la integral definida como límite del proceso acumulativo y aplica el Teorema Fundamental para resolver modelos en ingeniería.
Metodología Progresiva: Cada módulo integra un ejercicio Básico (fundamentos), uno Intermedio (TIC's / Redes) y uno Avanzado (Producción Industrial).
Módulo 1 • Subtemas 1.1 y 1.2

Medición de figuras amorfas y Notación sumatoria

Semana 1 • 5 Horas

📌 Resumen Teórico & Álgebra de Sumatorias Finitas

Discretización regular y linealidad

Para cuantificar el área bajo una silueta o función amorfa $f(x) \ge 0$ sobre $[a, b]$, subdividimos el intervalo en $n$ franjas regulares de longitud $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. La notación sumatoria $(\Sigma)$ sintetiza la acumulación y goza de linealidad estricta: $\sum (c \cdot a_i \pm b_i) = c\sum a_i \pm \sum b_i$.

1. Constante
$$\sum_{i=1}^n c = cn$$
2. Enteros (Gauss)
$$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$
3. Cuadrados
$$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
4. Cubos
$$\sum_{i=1}^n i^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$

✏️ Ejercicios Resueltos de Cátedra (Básico • Intermedio TIC's • Avanzado Industrial)

NIVEL BÁSICO

Álgebra y simplificación cerrada de sumatoria polinómica

Pizarra / Tarea

Obtén una fórmula cerrada en términos de $n$ para la sumatoria $\sum_{i=1}^n (3i - 2)^2$ y calcula su magnitud precisa para $n = 15$.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Desarrollar el binomio al cuadrado dentro del operador:

$(3i - 2)^2 = 9i^2 - 12i + 4$

Paso 2: Aplicar los teoremas de linealidad distributiva:

$$\sum_{i=1}^n (9i^2 - 12i + 4) = 9\sum_{i=1}^n i^2 - 12\sum_{i=1}^n i + \sum_{i=1}^n 4$$

Paso 3: Sustituir las identidades de sumatoria conocidas:

$$= 9\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] - 12\left[\frac{n(n+1)}{2}\right] + 4n$$ $$= \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} - 6n(n+1) + 4n$$

Paso 4: Factorizar por factor común $\frac{n}{2}$ y condensar el polinomio:

$$S_n = \frac{n}{2}\Big[ 3(2n^2 + 3n + 1) - 12(n+1) + 8 \Big] = \frac{n}{2}\Big[ 6n^2 + 9n + 3 - 12n - 12 + 8 \Big] = \frac{n(6n^2 - 3n - 1)}{2}$$

Paso 5: Evaluación numérica exacta para $n = 15$:

$$S_{15} = \frac{15(6(225) - 3(15) - 1)}{2} = \frac{15(1350 - 45 - 1)}{2} = \frac{15(1304)}{2} = 15 \times 652 = 9\,780$$
NIVEL INTERMEDIO • TIC'S

Análisis de ciclos anidados en algoritmos y operaciones de CPU

Estructura de Datos

Un algoritmo en un servidor procesa una matriz triangular mediante dos bucles anidados. El número exacto de instrucciones ejecutadas está modelado por la suma doble: $$T(n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i (4j - 1)$$ Halla la función cerrada de instrucciones $T(n)$ y demuestra que su complejidad asintótica pertenece a $O(n^3)$.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Resolver la sumatoria interna con respecto al índice $j$:

$$\sum_{j=1}^i (4j - 1) = 4\sum_{j=1}^i j - \sum_{j=1}^i 1 = 4\left[\frac{i(i+1)}{2}\right] - i = 2i(i+1) - i = 2i^2 + i$$

Paso 2: Introducir el resultado en la sumatoria exterior con respecto a $i$:

$$T(n) = \sum_{i=1}^n (2i^2 + i) = 2\sum_{i=1}^n i^2 + \sum_{i=1}^n i$$

Paso 3: Sustituir identidades de Gauss y de suma de cuadrados:

$$T(n) = 2\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$$

Paso 4: Factorizar por el término común $\frac{n(n+1)}{6}$:

$$T(n) = \frac{n(n+1)}{6}\Big[ 2(2n+1) + 3 \Big] = \frac{n(n+1)(4n + 5)}{6} = \frac{4n^3 + 9n^2 + 5n}{6}$$

Conclusión de Computación:

El término dominante es $\frac{4}{6}n^3 = \frac{2}{3}n^3$. Por definición de cota superior asintótica, $\lim_{n \to \infty} \frac{T(n)}{n^3} = \frac{2}{3} \implies T(n) \in O(n^3)$. Para $n = 100$, el procesador ejecuta exactamente $68,250$ operaciones elementales.

NIVEL AVANZADO • ING. INDUSTRIAL

Cálculo de área de chapa metálica amorfa en control de calidad

Manufactura Esbelta

Una máquina troqueladora produce láminas de forma irregular. La curvatura superior está modelada por $f(x) = 12 - 0.5x^2$ (en cm) sobre el intervalo $[-4, 4]$. Estima el área superficial total empleando una partición uniforme de $n = 4$ subintervalos evaluada con rectángulos circunscritos (extremos superiores máximos), y compara el desperdicio de material contra el área exacta.

▶ Desplegar Solución Demostrativa Paso a Paso

Paso 1: Parámetros de la partición en el dominio $[-4, 4]$:

$$\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - (-4)}{4} = \frac{8}{4} = 2\text{ cm}$$ $$\text{Nodos de partición: } x_0 = -4, \; x_1 = -2, \; x_2 = 0, \; x_3 = 2, \; x_4 = 4$$

Paso 2: Como la parábola es cóncava hacia abajo con vértice en $x = 0$, el máximo en cada subintervalo $[x_{i-1}, x_i]$ ocurre en:

  • En $[-4, -2]$: máximo en $x = -2 \implies f(-2) = 12 - 0.5(-2)^2 = 10$
  • En $[-2, 0]$: máximo en $x = 0 \implies f(0) = 12 - 0.5(0)^2 = 12$
  • En $[0, 2]$: máximo en $x = 0 \implies f(0) = 12$
  • En $[2, 4]$: máximo en $x = 2 \implies f(2) = 12 - 0.5(2)^2 = 10$

Paso 3: Sumatoria circunscrita (Suma Superior $U_4$):

$$U_4 = \sum_{i=1}^4 f(c_i)\Delta x = 2 \times (10 + 12 + 12 + 10) = 2 \times 44 = 88\text{ cm}^2$$

Paso 4: Cotejo con el valor exacto y balance de merma:

$$A_{\text{exacta}} = \int_{-4}^4 (12 - 0.5x^2)\,dx = \left[12x - \frac{0.5x^3}{3}\right]_{-4}^4 = 2\left[48 - \frac{32}{3}\right] = 2\left(\frac{112}{3}\right) \approx 74.67\text{ cm}^2$$ $$\text{Sobreestimación (merma calculada)} = 88 - 74.67 = 13.33\text{ cm}^2 \quad (\approx 17.85\%)$$
📝 Tareas Propuestas (Módulo 1)
  • • Básico: Simplifica $\sum_{i=1}^{40} (5i - 3)$ y verifica con Gauss.
  • • Intermedio [TIC's]: Calcula la complejidad exacta de $\sum_{i=1}^n i(2i+3)$.
  • • Avanzado [Industrial]: Estima el volumen de un molde amortiguador irregular con 6 secciones transversales usando regla del trapecio.
💻 Comandos GeoGebra

f(x) = 12 - 0.5*x^2

n = Deslizador(2, 50, 1)

SumaSuperior(f, -4, 4, n)

SumaInferior(f, -4, 4, n)

⚠️ Errores Comunes de Examen

Confundir sumatoria de constante: Al expandir $\sum_{i=1}^n c$, nunca dejes $c$ aislado; es $c \cdot n$. En sumas dobles, mantén estricta independencia de variables de iteración ($i$ constante frente a $j$).

Módulo 2 • Subtemas 1.3, 1.4 y 1.5

Sumas de Riemann, Integral Definida y Teorema de Existencia

Semana 2 • 5 Horas

📌 Límite de Riemann y Criterio de Integrabilidad

Sea $f$ definida en $[a, b]$. Si la norma de la partición $\|\mathcal{P}\| = \max(\Delta x_i) \to 0$ (o para particiones regulares cuando $n \to \infty$), el límite existe independientemente de la elección de los puntos muestra $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x, \quad \Delta x = \frac{b-a}{n}, \quad x_i^* = a + i\Delta x \text{ (extremo der.)}$$

Teorema de Existencia de Cauchy-Riemann: Toda función continua en $[a, b]$, o acotada con un número finito de discontinuidades de salto, es integrable según Riemann en $[a, b]$.

✏️ Deducción Analítica Completa por Límite de Riemann

NIVEL BÁSICO

Deducción de integral polinomial cuadrática mediante $\lim_{n \to \infty} \sum$

Definición Formal

Calcula el valor exacto de la integral $\int_1^4 (x^2 - 2x + 3)\,dx$ aplicando estrictamente la definición formal de límite de sumas de Riemann con extremos derechos.

▶ Desplegar Demostración Analítica Completa

Paso 1: Establecer los parámetros de la partición uniforme:

$$\Delta x = \frac{4 - 1}{n} = \frac{3}{n}, \qquad x_i = 1 + i\Delta x = 1 + \frac{3i}{n}$$

Paso 2: Evaluar $f(x_i)$ algebraicamente:

$$f(x_i) = \left(1 + \frac{3i}{n}\right)^2 - 2\left(1 + \frac{3i}{n}\right) + 3$$ $$= \left(1 + \frac{6i}{n} + \frac{9i^2}{n^2}\right) - 2 - \frac{6i}{n} + 3 = 2 + \frac{9i^2}{n^2}$$

Paso 3: Ensamblar la sumatoria de Riemann $S_n$:

$$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^n \left(2 + \frac{9i^2}{n^2}\right)\frac{3}{n} = \frac{6}{n}\sum_{i=1}^n 1 + \frac{27}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2$$

Paso 4: Sustituir identidades cerradas y simplificar potencias de $n$:

$$S_n = \frac{6}{n}(n) + \frac{27}{n^3}\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] = 6 + \frac{9}{2}\left[\frac{2n^2 + 3n + 1}{n^2}\right] = 6 + \frac{9}{2}\left(2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right)$$

Paso 5: Paso al límite cuando la norma tiende a cero ($n \to \infty$):

$$\int_1^4 (x^2 - 2x + 3)\,dx = \lim_{n \to \infty} \left[ 6 + \frac{9}{2}\left(2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right) \right] = 6 + \frac{9}{2}(2) = 6 + 9 = 15$$
NIVEL INTERMEDIO • TIC'S

Tráfico acumulado de red en Datacenter (Gbps a Gigabits totales)

Teleinformática

La tasa de transferencia de datos entrante en un servidor cloud durante las primeras $t$ horas está dada por la función de caudal continuo $R(t) = 8 + 6t - t^2$ en Gbps. Demuestra mediante el límite de sumas de Riemann la cantidad total de Gigabits transferidos en el lapso de las primeras 3 horas ($[0, 3]$).

▶ Desplegar Modelado y Límite Paso a Paso

Paso 1: Partición regular del tiempo de monitoreo $[0, 3]$:

$$\Delta t = \frac{3 - 0}{n} = \frac{3}{n}, \qquad t_i = 0 + i\Delta t = \frac{3i}{n}$$

Paso 2: Evaluar la tasa de transferencia en cada muestra $t_i$:

$$R(t_i) = 8 + 6\left(\frac{3i}{n}\right) - \left(\frac{3i}{n}\right)^2 = 8 + \frac{18i}{n} - \frac{9i^2}{n^2}$$

Paso 3: Construir el acumulador de Riemann:

$$S_n = \sum_{i=1}^n R(t_i)\Delta t = \frac{3}{n}\sum_{i=1}^n \left(8 + \frac{18i}{n} - \frac{9i^2}{n^2}\right) = \frac{24}{n}\sum_{i=1}^n 1 + \frac{54}{n^2}\sum_{i=1}^n i - \frac{27}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2$$

Paso 4: Aplicar las fórmulas finitas:

$$S_n = \frac{24}{n}(n) + \frac{54}{n^2}\left[\frac{n(n+1)}{2}\right] - \frac{27}{n^3}\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right]$$ $$S_n = 24 + 27\left(1 + \frac{1}{n}\right) - \frac{9}{2}\left(2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right)$$

Paso 5: Límite continuo cuando la granularidad es infinita ($n \to \infty$):

$$\text{Carga Total} = \lim_{n \to \infty} S_n = 24 + 27(1) - \frac{9}{2}(2) = 24 + 27 - 9 = 42\text{ Gb}\cdot\text{h}$$

Este valor equivale a $42 \times 3,600 = 151,200\text{ Gigabits}$ totales transferidos para dimensionar almacenamiento y ancho de banda.

NIVEL AVANZADO • ING. INDUSTRIAL

Costo Marginal Acumulado de Producción continua

Ingeniería Económica

El costo marginal de operar una línea de ensamble automatizada durante $x$ cientos de unidades es $C'(x) = 3x^2 + 4x + 10$ (en miles de pesos por cada 100 unidades). Deduce formalmente mediante sumas de Riemann el incremento en el costo total al elevar la producción de $x = 1$ a $x = 3$ (es decir, de 100 a 300 unidades).

▶ Desplegar Deducción Analítica Paso a Paso

Paso 1: Parámetros en el intervalo $[1, 3]$:

$$\Delta x = \frac{3 - 1}{n} = \frac{2}{n}, \qquad x_i = 1 + \frac{2i}{n}$$

Paso 2: Expandir $C'(x_i)$:

$$C'(x_i) = 3\left(1 + \frac{2i}{n}\right)^2 + 4\left(1 + \frac{2i}{n}\right) + 10$$ $$= 3\left(1 + \frac{4i}{n} + \frac{4i^2}{n^2}\right) + 4 + \frac{8i}{n} + 10 = 17 + \frac{20i}{n} + \frac{12i^2}{n^2}$$

Paso 3: Construcción de la suma de Riemann:

$$S_n = \sum_{i=1}^n \left(17 + \frac{20i}{n} + \frac{12i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} = \frac{34}{n}(n) + \frac{40}{n^2}\left[\frac{n(n+1)}{2}\right] + \frac{24}{n^3}\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right]$$ $$S_n = 34 + 20\left(1 + \frac{1}{n}\right) + 4\left(2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right)$$

Paso 4: Límite cuando $n \to \infty$:

$$\Delta C = \lim_{n \to \infty} S_n = 34 + 20(1) + 4(2) = 34 + 20 + 8 = 62\text{ mil pesos}$$

Conclusión: Incrementar la corrida de 100 a 300 piezas requiere una inversión incremental de exactamente $\$62,000$ MXN.

📝 Tareas Propuestas (Módulo 2)
  • • Básico: Deduce $\int_0^4 (5x - 2)\,dx$ con límite de Riemann. (Res: $32$).
  • • Intermedio [TIC's]: Plantea el límite para el flujo de paquetes $P(t) = 4t^3 + 2$ en $[1, 3]$.
  • • Avanzado [Industrial]: Demuestra que $\int_a^b x^2 dx = \frac{b^3 - a^3}{3}$ aplicando sumas con partición uniforme genérica.
💻 GeoGebra

f(x) = 3x^2 + 4x + 10

SumaRectangulos(f, 1, 3, 100, 1)

Integral(f, 1, 3)

⚠️ Errores en Exámenes

Omitir el límite inferior $a$: El error clásico es escribir $x_i = i\Delta x$ en vez de $x_i = a + i\Delta x$. Si $a \ne 0$, este descuido invalida completamente la expansión polinomial.

Módulo 3 • Subtemas 1.6, 1.7 y 1.8

Propiedades de la integral, Primitivas y Valor Medio

Semana 3 • 5 Horas

📌 Axiomas de Dominio & Teorema del Valor Medio

Propiedades de Dominio e Intervalos

• Inversión de límites: $\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx$

• Límites coincidentes: $\int_a^a f(x)dx = 0$

• Aditividad: $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$

• Acotación: Si $m \le f(x) \le M \implies m(b-a) \le \int_a^b f(x)dx \le M(b-a)$

Simetrías y Teorema del Valor Medio

• Impar: $f(-x)=-f(x) \implies \int_{-a}^a f(x)dx = 0$

• Par: $f(-x)=f(x) \implies \int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$

• Valor Promedio: $f_{\text{prom}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$

• TVM: Existe $c \in [a, b]$ tal que $f(c) = f_{\text{prom}}$.

✏️ Ejercicios Resueltos de Cátedra (Básico • Intermedio Industrial • Avanzado TIC's)

NIVEL BÁSICO

Explotación de paridad e interpretación geométrica inmediata

Simetrías

Sin recurrir a métodos laboriosos de sustitución trigonométrica, calcula analíticamente: $$\int_{-3}^3 \left(x^7 \cos(x) + \sqrt{9 - x^2}\right)\,dx$$

▶ Desplegar Solución por Propiedades

Paso 1: Separar por linealidad de integrales:

$$I = \int_{-3}^3 x^7 \cos(x)\,dx + \int_{-3}^3 \sqrt{9 - x^2}\,dx$$

Paso 2: Estudiar la paridad de $g(x) = x^7 \cos(x)$:

$$g(-x) = (-x)^7 \cos(-x) = -x^7 \cos(x) = -g(x) \quad \text{(Función Impar)}$$ $$\text{Como el intervalo } [-3, 3] \text{ es simétrico respecto al origen: } \int_{-3}^3 x^7 \cos(x)\,dx = 0$$

Paso 3: Interpretar geométricamente el término par $\sqrt{9 - x^2}$:

$$y = \sqrt{9 - x^2} \implies x^2 + y^2 = 9 \quad (y \ge 0)$$ $$\text{Es el semicírculo superior de radio } r = 3. \quad \text{Área} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (3)^2 = \frac{9\pi}{2}$$

Paso 4: Resultado final directo:

$$I = 0 + \frac{9\pi}{2} = \frac{9\pi}{2} \approx 14.137$$
NIVEL INTERMEDIO • ING. INDUSTRIAL

Nivel de inventario promedio y determinación del punto crítico $c$

Logística

El inventario físico $I(t)$ de materias primas en un almacén durante un ciclo de reabastecimiento de 10 días ($[0, 10]$) disminuye según $I(t) = 400 - 30t - t^2$ unidades. Calcula el nivel promedio del inventario mantenido y determina el instante exacto $c \in (0, 10)$ garantizado por el Teorema del Valor Medio donde el inventario real coincide con dicho promedio.

▶ Desplegar Solución con TVM

Paso 1: Integrar la función de inventario en el lapso $[0, 10]$:

$$\int_0^{10} (400 - 30t - t^2)\,dt = \left[ 400t - 15t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_0^{10} = 4000 - 1500 - \frac{1000}{3} = 2500 - 333.33 = 2166.67\text{ u}\cdot\text{día}$$

Paso 2: Calcular el valor promedio del inventario ($I_{\text{prom}}$):

$$I_{\text{prom}} = \frac{1}{b - a}\int_a^b I(t)\,dt = \frac{1}{10 - 0}\left(\frac{6500}{3}\right) = \frac{650}{3} \approx 216.67\text{ unidades}$$

Paso 3: Igualar $I(c) = I_{\text{prom}}$ para hallar el instante $c$:

$$400 - 30c - c^2 = \frac{650}{3} \implies c^2 + 30c - \left(400 - \frac{650}{3}\right) = 0$$ $$c^2 + 30c - \frac{550}{3} = 0 \implies 3c^2 + 90c - 550 = 0$$

Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática:

$$c = \frac{-90 \pm \sqrt{90^2 - 4(3)(-550)}}{2(3)} = \frac{-90 \pm \sqrt{8100 + 6600}}{6} = \frac{-90 \pm \sqrt{14700}}{6} \approx \frac{-90 + 121.24}{6} \approx 5.21\text{ días}$$

Conclusión: En el día $5.21$ del ciclo, el almacén tiene exactamente su nivel promedio ($216.67$ u), confirmando la garantía del TVM dentro del intervalo $(0, 10)$.

NIVEL AVANZADO • TIC'S

Potencia media consumida en clúster de servidores de IA con carga cíclica

Infraestructura TI

El consumo de potencia eléctrica de un rack de servidores de procesamiento intensivo durante un día ($t \in [0, 24]$ horas) sigue la función periódica compuesta: $$P(t) = 150 + 40\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) + 3t \quad \text{(en kW)}$$ Determina la energía total consumida en el día, la potencia media $P_{\text{prom}}$ y el instante en que la potencia instantánea es idéntica a la media.

▶ Desplegar Solución Completa

Paso 1: Integrar la potencia en $[0, 24]$:

$$E = \int_0^{24} \left[ 150 + 40\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) + 3t \right]\,dt$$ $$\int_0^{24} \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)dt = \left[ -\frac{12}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right) \right]_0^{24} = -\frac{12}{\pi}(\cos(2\pi) - \cos(0)) = -\frac{12}{\pi}(1 - 1) = 0$$ $$\text{Por tanto: } E = \left[ 150t + \frac{3t^2}{2} \right]_0^{24} = 150(24) + 1.5(576) = 3600 + 864 = 4\,464\text{ kWh}$$

Paso 2: Obtener la potencia promedio:

$$P_{\text{prom}} = \frac{E}{24 - 0} = \frac{4464}{24} = 186\text{ kW}$$

Paso 3: Igualar $P(c) = 186$ para encontrar $c$:

$$150 + 40\sin\left(\frac{\pi c}{12}\right) + 3c = 186 \implies 40\sin\left(\frac{\pi c}{12}\right) + 3c = 36$$ $$\text{Evaluando para } c = 12: \quad 40\sin(\pi) + 3(12) = 0 + 36 = 36 \checkmark$$

Conclusión del TVM:

El punto medio exacto $c = 12\text{ horas}$ (mediodía) cumple exactamente la condición de la potencia promedio en el rack.

📝 Tareas Propuestas (Módulo 3)
  • • Básico: Si $\int_0^6 f(x)dx = 14$ y $\int_0^4 f(x)dx = 5$, halla $\int_4^6 (2f(x) - 3)dx$.
  • • Intermedio [Industrial]: Determina el promedio de desgaste $W(t) = 0.8t^{1.5}$ en $[0, 4]$.
  • • Avanzado [TIC's]: Halla el punto $c$ del TVM para $f(t) = e^{0.5t}$ en $[0, 2]$.
💻 GeoGebra

I(t) = 400 - 30*t - t^2

prom = (1/10)*Integral(I, 0, 10)

y = prom

Interseca(I, y, 0, 10)

💡 Metáfora Didáctica del TVM

Visualiza el área bajo la curva como un pastel de gelatina con crestas y valles. El Teorema del Valor Medio "aplana" la superficie hasta dejarla perfectamente horizontal con altura uniforme $f(c)$ y longitud $(b-a)$.

Módulo 4 • Subtemas 1.9 y 1.10

Teorema Fundamental del Cálculo e Integrales Definidas Básicas

Semana 4 • 5 Horas

📌 Los Dos Teoremas Fundamentales del Cálculo Infinitesimal

TFC Parte 1 (Derivada de la Acumulación)

Conecta la derivación y la integración como operadores inversos. Para límites funcionales variables (Regla de Leibniz + Cadena):

$$\frac{d}{dx}\left[\int_{v(x)}^{u(x)} f(t)\,dt\right] = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x)$$
TFC Parte 2 (Regla de Barrow / Evaluación)

Permite computar integrales definidas sin recurrir al paso de sumas de Riemann usando cualquier antiderivada $F'(x) = f(x)$:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[ F(x) \Big]_a^b$$

✏️ Ejercicios Resueltos de Cátedra (Básico • Intermedio TIC's • Avanzado Industrial)

NIVEL BÁSICO

Evaluación analítica con funciones algebraicas y trascendentes directas

TFC-2 (Barrow)

Evalúa la siguiente integral definida y aproxima su valor con 3 cifras decimales: $$\int_0^{\pi/4} \left(4\sec^2(x) - 6x + e^{2x}\right)\,dx$$

▶ Desplegar Solución Paso a Paso

Paso 1: Determinar la antiderivada general $F(x)$:

$$\int 4\sec^2(x)\,dx = 4\tan(x), \quad \int -6x\,dx = -3x^2, \quad \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}$$ $$F(x) = 4\tan(x) - 3x^2 + \frac{1}{2}e^{2x}$$

Paso 2: Evaluar en el límite superior $x = \pi/4$:

$$F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - 3\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 + \frac{1}{2}e^{2(\pi/4)} = 4(1) - \frac{3\pi^2}{16} + \frac{1}{2}e^{\pi/2}$$

Paso 3: Evaluar en el límite inferior $x = 0$:

$$F(0) = 4\tan(0) - 3(0)^2 + \frac{1}{2}e^0 = 0 - 0 + \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}$$

Paso 4: Aplicar Barrow $F(\pi/4) - F(0)$:

$$I = \left(4 - \frac{3\pi^2}{16} + \frac{1}{2}e^{\pi/2}\right) - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} - \frac{3\pi^2}{16} + \frac{1}{2}e^{\pi/2}$$ $$I \approx 3.5 - 1.8505 + 2.4052 \approx 4.055$$
NIVEL INTERMEDIO • TIC'S

Tasa instantánea de llenado de buffer de memoria con límites funcionales

TFC-1 + Leibniz

En un router de telecomunicaciones, la memoria acumulada $M(t)$ (en Megabytes) ocupada por paquetes en tránsito está modelada por: $$M(t) = \int_{2t}^{t^3} \frac{\sqrt{1 + u^2}}{u + 4}\,du$$ Calcula la tasa de cambio instantánea de ocupación de memoria $\frac{dM}{dt}$ y evalúala en el instante $t = 2$ segundos.

▶ Desplegar Solución Analítica con Cadena

Paso 1: Identificar las funciones frontera y el integrando $f(u)$:

$$f(u) = \frac{\sqrt{1 + u^2}}{u + 4}, \qquad u(t) = t^3, \qquad v(t) = 2t$$ $$u'(t) = 3t^2, \qquad v'(t) = 2$$

Paso 2: Aplicar la Regla de Leibniz (TFC-1 con Regla de la Cadena):

$$M'(t) = f(u(t))\cdot u'(t) - f(v(t))\cdot v'(t)$$ $$M'(t) = \left(\frac{\sqrt{1 + (t^3)^2}}{t^3 + 4}\right)\cdot (3t^2) - \left(\frac{\sqrt{1 + (2t)^2}}{2t + 4}\right)\cdot (2)$$ $$M'(t) = \frac{3t^2\sqrt{1 + t^6}}{t^3 + 4} - \frac{2\sqrt{1 + 4t^2}}{2t + 4}$$

Paso 3: Evaluar en $t = 2$ segundos:

$$M'(2) = \frac{3(4)\sqrt{1 + 64}}{8 + 4} - \frac{2\sqrt{1 + 16}}{4 + 4} = \frac{12\sqrt{65}}{12} - \frac{2\sqrt{17}}{8} = \sqrt{65} - \frac{\sqrt{17}}{4}$$ $$M'(2) \approx 8.062 - 1.031 \approx 7.031\text{ MB/s}$$

Conclusión: En $t = 2$ s, el buffer se está llenando a una velocidad de aproximadamente $7.03\text{ MB/s}$.

NIVEL AVANZADO • ING. INDUSTRIAL

Curva de aprendizaje en ensamble automotriz (Modelo de Wright)

Tiempos y Movimientos

El tiempo marginal de ensamble $t(x)$ por cada unidad adicional producida (en horas/vehículo) decrece a medida que los operarios adquieren destreza según la ley de aprendizaje: $$t(x) = 25 x^{-0.322}$$ Calcula mediante el TFC-2 el tiempo acumulado de mano de obra necesario para ensamblar desde la unidad $x = 100$ hasta la $x = 400$.

▶ Desplegar Solución de Ingeniería

Paso 1: Plantear la integral definida en $[100, 400]$:

$$T_{\text{total}} = \int_{100}^{400} 25 x^{-0.322}\,dx$$

Paso 2: Aplicar la regla de la potencia para la antiderivada:

$$\int x^k dx = \frac{x^{k+1}}{k+1}, \quad k = -0.322 \implies k + 1 = 0.678$$ $$F(x) = 25 \left(\frac{x^{0.678}}{0.678}\right) \approx 36.873 \cdot x^{0.678}$$

Paso 3: Evaluar los límites mediante Barrow $F(400) - F(100)$:

$$F(400) = 36.873 \cdot (400)^{0.678} \approx 36.873 \cdot 57.653 \approx 2\,125.87\text{ horas}$$ $$F(100) = 36.873 \cdot (100)^{0.678} \approx 36.873 \cdot 22.709 \approx 837.35\text{ horas}$$

Paso 4: Tiempo total requerido:

$$T_{\text{total}} = 2125.87 - 837.35 = 1\,288.52\text{ horas-hombre}$$

Conclusión: Fabricar esas 300 unidades intermedias requerirá $1,288.5$ horas laborales, con un tiempo promedio de solo $4.30$ horas por auto gracias a la curva de aprendizaje acumulada.

📝 Tareas Propuestas (Módulo 4)
  • • Básico: Halla $\frac{d}{dx}\left[\int_1^{\sqrt{x}} \ln(t^2+1)\,dt\right]$.
  • • Intermedio [TIC's]: Calcula $\int_1^e \frac{3 + \ln(x)}{x}dx$ usando antiderivada.
  • • Avanzado [Industrial]: Determina los máximos y mínimos locales de $G(x) = \int_0^x (t^2 - 9)e^{-t}dt$ en $[0, 5]$.
💻 GeoGebra

f(x) = 25*x^(-0.322)

Integral(f, 100, 400)

⚠️ Regla de Oro TFC-1

Al derivar una integral con límites funcionales, **NUNCA** sustituyas la variable sin multiplicar por la derivada interna del límite ($u'(x)$ o $v'(x)$). Trátala como una función compuesta de Leibniz.

Laboratorio Interactivo de Riemann & TFC

Ingresa tus propias funciones y experimenta con la convergencia en tiempo real

HTML5 Canvas • Touch Compatible
Soporta: ^, sin, cos, exp, sqrt, ln
Visualización Dinámica de Rectángulos Δx = 0.3333

Métricas de Convergencia

Preciso
Suma de Riemann ($S_n$): 4.2500
Valor Analítico Exacto ($\int_a^b$): 5.3333
Error Absoluto & Porcentual: 1.0833 (20.31%)

💡 Demostración Visual del TFC:

Desplaza el control deslizante de particiones $n$ de 6 hacia 80 o 100: observa cómo el error relativo tiende a cero ($0\%$), materializando el límite formal del Teorema Fundamental del Cálculo.